Question

如圖，所有棱長都為2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四邊形ABCD是菱形，其中E為BD的中點．
（1）求證：C′E∥面AB′D′；
（2）求證：面ACD′⊥面BDD′；
（3）求四棱錐B′-ABCD與D′-ABCD的公共部分體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）取B′D′的中點為F，連AF，C′F，根據三角形中位線定理，我們易判斷出AF∥C′E，結合線面平行的充要條件，即可得到C′E∥平面AB′D′．
（2）連接AC，CD′，結合菱形及正三棱柱的幾何特征，我們可以得到AC⊥BD，AC⊥DD'，根據線面垂直的判定定理我們可以得到AC⊥平面BDD′，再由面面垂直的判定定理，即可得到面ACD′⊥面BDD′；
（3）由圖得四棱錐B′-ABCD與D′-ABCD的公共部分為四棱錐O-ABCD，求出棱錐的高及底面積，代入棱錐體積公式，即可得到四棱錐B′-ABCD與D′-ABCD的公共部分體積．
解答：解：（1）證明：如圖取B′D′的中點為F，連AF，C′F，易得AFC′F為平行四邊形．

∴AF∥C′E，又AF?平面AB′D′
∴C′E∥平面AB′D′..（4分）
（2）證明：連接AC，CD′，因ABCD是菱形故有AC⊥BD
又BCD-B′C′D′為正三棱柱
故有AC⊥DD'
所以AC⊥平面BDD′
，而AC?平面ACD′
所以面ACD′⊥面BDD′（9分）
（3）設B′D與BD′的交點為O，
由圖得四棱錐B′-ABCD與D′-ABCD的公共部分為四棱錐O-ABCD
且易得O到下底面的距離為1，
所以公共部分的體積為（14分）
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，組合幾何體的體積，及直線與平面平行的判定，要求一個幾何體的體積，我們要先判定幾何體的形狀，然后求出底面積，高，代入公式即可求解．