Question

（本題12分）已知集合是同時滿足下列兩個性質的函數組成的集合：
①在其定義域上是單調增函數或單調減函數；
②在的定義域內存在區間，使得在上的值域是．
(1)判斷函數是否屬于集合？并說明理由．若是，則請求出區間；
(2)若函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）函數屬于集合，且這個區間是
（2）

解： (1)的定義域是，   在上是單調增函數．
設在上的值域是．由 解得：
故函數屬于集合，且這個區間是

(2) 設，則易知是定義域上的增函數．
 ，存在區間，滿足，．
即方程在內有兩個不等實根．
[法1]：方程在內有兩個不等實根，令則其化為:
即有兩個非負的不等實根,
從而有:；
[法2]：要使方程在內有兩個不等實根，
即使方程在內有兩個不等實根．
如圖，當直線經過點時，，
當直線與曲線相切時，
方程兩邊平方，
得，由，得．
因此，利用數形結合得實數的取值范圍是．