Question

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1＝AC＝CB＝AB.

(1)證明：BC1∥平面A1CD；

(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)連接AC1交A1C于點F，則F為AC1的中點．

又D是AB的中點，連接DF，則BC1∥DF.

因為DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.

(2)由AC＝CB＝AB，得AC⊥BC.

以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系C －xyz.

設CA＝2，則D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，

＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．

設n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，

則即可取n＝(1，－1，－1)．

同理，設m＝(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，

則即可取m＝(2,1，－2)．

從而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.

即二面角D－A1C－E的正弦值為.