Question

某同學在研究函數y=f（x）（x≥1，x∈R）的性質，他已經正確地證明了函數f（x）滿足：f（3x）=3f（x），并且當1≤x≤3時，f（x）=1-|x-2|，這樣對任意x≥1，他都可以求f（x）的值了．則
（1）f（8）=

 

；
（2）集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是

 

．

Answer 1

分析：（1）當3≤x≤9時，f（

x

3

）=1-|

x

3

-2|，得到f（

8

3

）=

1

3

，再根據f（3x）=3f（x），得到f（8）=3f（

8

3

）=1．
（2）根據題意，求出當3≤x≤9時的表達式，同理求出當9≤x≤27時、當27≤x≤81時和當81≤x≤243時的表達式，從而得到f（99）=-54，然后解方程f（x）=-54，即可得到集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素．

解答：解：（1）∵當1≤x≤3時，f（x）=1-|x-2|，
∴當3≤x≤9時，f（

x

3

）=1-|

x

3

-2|，可得f（

8

3

）=1-|

8

3

-2|=

1

3

，
又∵對任意x≥1，都有f（3x）=3f（x），
∴f（8）=3f（

8

3

）=1
（2）根據題意，得
當3≤x≤9時，f（x）=3f（

x

3

）=3-|3x-6|；
當9≤x≤27時，f（

x

3

）=3-|3•

x

3

-6|=3-|x-6|，此時f（x）=3f（

x

3

）=9-|3x-18|； 
當27≤x≤81時，f（

x

3

）=9-|3•

x

3

-18|=9-|x-18|，此時f（x）=3f（

x

3

）=27-|3x-54|； 
當81≤x≤243時，f（

x

3

）=27-|3•

x

3

-54|=27-|x-54|，此時f（x）=3f（

x

3

）=81-|3x-162|．
由此可得f（99）=81-|3×99-162|=-54
接下來解方程f（x）=-54：
當27≤x≤81時，27-|3x-54|=-54，得3x-54=±81，所以x=45（舍負）；
當9≤x≤27時，9-|3x-18|=-54，得3x-18=±63，找不到符合條件的x；
 當3≤x≤9時，3-|3x-6|=-54，得3x-6=±57，找不到符合條件的x．
因此集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是45
故答案為：1    45

點評：本題以一個特殊函數為例，叫我們討論方程的最小正數解，著重考查了函數的定義、分段函數和方程根的分布等知識，屬于基礎題．