Question

(本小題13分)
已知函數的圖象在處的切線與直線平行．
（１）求實數的值；
（２）若方程在上有兩個不相等的實數根，
求實數的取值范圍；（參考數據：2.71 828…）
（３）設常數，數列滿足（），  
，求證：．

Answer 1

略

（１）∵ ，
∴ ．由題知，解得a=1．（3分）
（２）由（１）有，∴原方程可整理為．
令，得，
∴ 當3<x≤4時，當2≤x<3時，，
即g(x)在[2，3]上是增函數，在[3，4]上是減函數，
∴ 在時g(x)有最大值.
∵ g(2)=4ln3-2，g(4)=4ln5-4，
∴ g(2)-g(4)==2．由9e≈24.46<25，于是．
∴ g(2)<g(4)．
∴ m取值范圍為．（8分）（３）由（）有，
顯然0，當x∈(0，+∞)時，，當x∈(-1，0)時，，
∴ f (x)在(-1，0)上是增函數，在上是減函數．
∴ f (x)在(-1，+∞)上有最大值f (0)，而f (0)=0，
∴ 當x∈(-1，+∞)時，，因此……(*)
由已知有，所以．
∵ a_n+1-a_n=ln(p-a_n)=ln(1+p-1-a_n)，
∴ 由（*）中結論可得a_n+1-a_n≤p-1-a_n，即a_n+1≤p-1（）．
∴ 當n≥2時，-a_n=ln(p-a_n)≥ln[p-(p-1)]=0，即≥a_n．
當n=1，a₂=a₁+ln(p-lnp)，∵ lnp=ln(1+p-1)≤p-1，
∴ a₂≥a₁+ln[p-(p-1)]=a₁，結論成立．∴ 對，．（13分）