Question

（理）已知函數(shù)．
（1）試判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（2）求證：f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減；
（3）如圖給出的是與函數(shù)f（x）相關(guān)的一個程序框圖，試構(gòu)造一個公差不為零的等差數(shù)列
{a_n}，使得該程序能正常運行且輸出的結(jié)果恰好為0．請說明你的理由．
（文）如圖，在平面直角坐標系中，方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直，且AC和BD分別在x軸和y軸上．
（1）求證：F＜0；
（2）若四邊形ABCD的面積為8，對角線AC的長為2，且，求D²+E²-4F的值；
（3）設(shè)四邊形ABCD的一條邊CD的中點為G，OH⊥AB且垂足為H．試用平面解析幾何的研究方法判
斷點O、G、H是否共線，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：理科（1）先求出函數(shù)的定義域，得到定義域關(guān)于原點對稱，在檢驗-x與x的函數(shù)值之間的關(guān)系，得到奇函數(shù)．
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)出已知大小關(guān)系的任意兩個變量，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)是一個增函數(shù)．
（3）由程序框圖知，公差不為零的等差數(shù)列{a_n}要滿足條件，則必有f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=0．所以要構(gòu)造滿足條件的等差數(shù)列{a_n}，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)，只需等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁+a₁₀=a₂+a₉═a₅+a₆=0．
文科（1）發(fā)現(xiàn)A、C兩點分別在x軸正負半軸上．設(shè)兩點坐標分別為A（a，0），C（c，0），則有ac＜0．對于圓方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，當y=0時，可得x²+Dx+F=0，其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標，于是有x_Ax_C=ac=F，得到故F＜0．
（2）寫出對角線互相垂直的四邊形ABCD面積，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積等于0，整理出角是一個直角，根據(jù)圓的方程寫出結(jié)果．
（3）設(shè)出和寫出要用的點的坐標，當y=0時可得x²+Dx+F=0，其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標，于是有x_Ax_C=ac=F．同理，當x=0時，可得y²+Ey+F=0，其中方程的兩根分別為點B和點D的縱坐標，于是有y_By_D=bd=F．得到結(jié)果．
解答：解：（1）由
得，
則，任取，
都有f（-x）==-f（x），則該函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）任取0＜x₁＜x₂＜1，
則有0＜x₁²＜x₂²＜1⇒2-x₁²＞2-x₂²＞1，⇒ln（2-x₁²）＞ln（2-x₂²）＞0．
又，
所以，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減．
（3）由程序框圖知，公差不為零的等差數(shù)列{a_n}要滿足條件，
則必有f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=0．
由（1）知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，而奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，
所以要構(gòu)造滿足條件的等差數(shù)列{a_n}，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)，只需等差數(shù)列{a_n}
滿足：a₁+a₁₀=a₂+a₉═a₅+a₆=0
且即可．
我們可以先確定a₅，a₆使得a₅+a₆=0，因為公差不為零的等差數(shù)列{a_n}必是單調(diào)的數(shù)列，只要它的最大項和最小項在中，即可滿足要求．
所以只要a₅，a₆
對應(yīng)的點盡可能的接近原點．如取a₅=-0.1，a₆=0.1，存在滿足條件的一個等差數(shù)列{a_n}可以是a_n=0.2n-1.1（1≤n≤10，n∈N^*）．
（文科）（1）由題意，不難發(fā)現(xiàn)A、C兩點分別在x軸正負半軸上．設(shè)兩點坐標分別為A（a，0），C（c，0），
則有ac＜0．
對于圓方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，
當y=0時，可得x²+Dx+F=0，其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標，于是有x_Ax_C=ac=F．
因為ac＜0，故F＜0．
（2）對角線互相垂直的四邊形ABCD面積，
因為S=8，|AC|=2，可得|BD|=8．
又因為，
所以∠A為直角，而因為四邊形是圓M的內(nèi)接四邊形，
故|BD|=2r=8⇒r=4．
對于方程x²+y²+Dx+Ey+F=0所表示的圓，
可知，
所以D²+E²-4F=4r²=64．
（3）證：設(shè)四邊形四個頂點的坐標分別為A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d）．
則可得點G的坐標為，即．
又，且AB⊥OH，故要使G、O、H三點共線，只需證即可．
而，且對于圓M的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，
當y=0時可得x²+Dx+F=0，其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標，
于是有x_Ax_C=ac=F．
同理，當x=0時，可得y²+Ey+F=0，其中方程的兩根分別為點B和點D的縱坐標，
于是有y_By_D=bd=F．
所以，，即AB⊥OG．
故O、G、H必定三點共線．
點評：本題是一個文理合卷的題目，有兩個題目分別考查函數(shù)的性質(zhì)和直線與圓的方程，本題解題的關(guān)鍵是看清題目的實質(zhì)，抓住解題的主要方法．