Question

已知圓C：x²＋y²－2x＋4y－4=0，是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

解法一:假設存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點.設l的方程為y=x＋b，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂).

由OA⊥OB，知k_OA·k_OB=－1，即·=－1，∴y₁y₂=－x₁x₂.

由得2x²＋2(b＋1)x＋b²＋4b－4=0.

∴x₁＋x₂=－(b＋1)，x₁·x₂=＋2b－2，

y₁y₂=(x₁＋b)(x₂＋b)=x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²=＋2b－2－b(b＋1)＋b²=＋b－2.

∵y₁y₂=－x₁x₂,

∴＋b－2=－(＋2b－2),即b²＋3b－4=0.

∴b=－4或b=1.

又Δ=4(b＋1)²－8(b²＋4b－4)=－4b²－24b＋36=－4(b²＋6b－9).

當b=－4時，Δ=－4×(16－24－9)＞0;

當b=1時，Δ=－4×(1＋6－9)＞0.

故存在這樣的直線l，它的方程是y=x－4或y=x＋1，即x－y－4=0或x－y＋1=0.

解法二:圓C化成標準方程為(x－1)²＋(y＋2)²=9.

假設存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標為(a，b).

由于CM⊥l，∴k_CM·k_l=－1，即×1=－1.

∴b=－a－1，                                                                                                           ①

直線l的方程為y－b=x－a，即x－y＋b－a=0，

∴|CM|=.

∵以AB為直徑的圓M過原點，∴|MA|=|MB|=|OM|，

而|MB|²=|CB|²－|CM|²=9－，|OM|²=a²＋b²，∴9－=a²＋b².   ②

把①代入②得2a²－a－3=0.

∴a=或a=－1.

當a=時，b=－,此時直線l的方程為x－y－4=0；

當a=－1時，b=0,此時直線l的方程為x－y＋1=0.

故這樣的直線l是存在的，它的方程為x－y－4=0或x－y＋1=0.