Question

（本小題滿分14分）已知橢圓，它的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.⑴求橢圓的方程；⑵設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線為，動(dòng)直線垂直于直線，垂足為點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；⑶將曲線向右平移2個(gè)單位得到曲線,設(shè)曲線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，過作直線交曲線于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于曲線的對稱軸的直線，若，試證明三點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）在同一條直線上．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）三點(diǎn)共線

解析:

（Ⅰ）由題意可得 ，   （2分）

由，得，∴,  （4分）

∴橢圓的方程為. （4分）

   （Ⅱ）由（Ⅰ）可得橢圓的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線為,      

連結(jié)，則，設(shè)，則,

∴，（6分）化簡得的方程為.（8分）

   （Ⅲ）將曲線向右平移2個(gè)單位,得曲線的方程為: ,其焦點(diǎn)為，

準(zhǔn)線為，對稱軸為軸． （10分）

設(shè)直線的方程為，代入y²=4x，得y²－4ty－4=0．

由題意，可設(shè)()，()，則y₁y₂=－4，

且有  （12分）∴，，

得．∴三點(diǎn)共線．　（14分）

評析：證明三點(diǎn)共線的方法很多,這里運(yùn)用向量共線定理來證，體現(xiàn)了平面向量與解析幾何知識的交匯和平面向量知識在解析幾何中的應(yīng)用．近幾年的高考突出了在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)命題的要求，平面向量與解析幾何知識的綜合考查成為一個(gè)不衰的熱點(diǎn)，復(fù)習(xí)中要引起重視．