Question

如圖，已知圓交軸于、兩點(diǎn)，在圓上運(yùn)動(dòng)（不與、重合），過作直線，垂直于交直線于點(diǎn)．
（1）求證：“如果直線過點(diǎn)，那么”為真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析。
（2）逆命題為：如果，那么直線過點(diǎn)．逆命題也為真命題，

（1）設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，，即，．當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，直線的斜率，直線OS的斜率，其方程為，，即．
．故“如果直線過點(diǎn)，那么”為真命題．
（2）逆命題為：如果，那么直線過點(diǎn)．逆命題也為真命題，以下給出證明：設(shè)，則，，，又，．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，顯然過點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線OS的斜率，直線的方程為，令，得，直線過定點(diǎn)．綜上，直線恒過定點(diǎn)．