Question

在平面直角坐標系中，已知點，點P是動點，且三角形的三邊所在直線
的斜率滿足．

（1）求點P的軌跡的方程；
（2）設Q是軌跡上異于點的一個點，若，直線與交于點M，探究是否存點P使得和的面積滿足，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設點為所求軌跡上的任意一點，由得，，

整理得的方程為（且）。……4分（注：不寫范圍扣1分）
（2）解法一、設，
，，，即， ………6分
三點共線，與共線，∴，
由（1）知，故，         ………8分
同理，由與共線，
∴，即，
由（1）知，故，…………9分
將，代入上式得，
整理得，由得，        …………11分
由，得到，因為，所以，
由，得，  ∴的坐標為．          …………14分
解法二、設由得，
故，即，                          ………6分
∴直線OP方程為：   ①；                            …………8分
直線QA的斜率為：，            
∴直線QA方程為：，即， ②  …10分
聯立①②，得，∴點M的橫坐標為定值。…………11分
由，得到，因為，所以，
由，得，  ∴的坐標為．          …………14分

考查向量知識在幾何中的運用，實際上就是用坐標表示向量，再進行運算；（Ⅱ）的關鍵是確定出點M的橫坐標為定值．
（Ⅰ）設點P（x，y）為所求軌跡上的任意一點，則由k_OP+k_OA=k_PA得從而就可以得到軌跡C的方程；
（2）設出點PQ,M的坐標，然后利用三點共線得到坐標關系，進而再由面積得到點P的坐標。