Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項之和，a₂=1，對任意的正整數(shù)n，都有S_n-2=p（a_n-2），其中p為常數(shù)，且p≠1．
（1）求p的值；（2）求S_n．

Answer 1

（1）因為對任意的正整數(shù)n，都有S_n-2=p（a_n-2），
所以，當n=1時，S₁=a₁，∴a₁-2=p（a₁-2），
（a₁-2）（p-1）=0且p≠1．∴a₁=2
由S₂-2=a₂-2，即a₁+a₂-2=p（a₂-2），a₂=1
即p=-1
（Ⅱ）S_n-2=-（a_n-2）=2-a_nS_n-1-2=2-a_n-1
兩式相減得S_n-S_n-1=a_n=-a_n+a_n-1
∴a_n=

1

2

a_n-1，∴a_n=2×（

1

2

）^n-1=

1

2n-2

∴S_n=4-a_n=4-

1

2n-2

．