Question

已知sinα-sin(α-

π

2

)=

7

5

，且0＜α＜

π

4

．
（Ⅰ）求sinαcosα、sinα-cosα的值；
（Ⅱ）求

sin3α

1+tanα

-

sinα•cos3α

sinα+cosα

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用誘導公式轉化已知條件，通過平方同角三角函數的基本關系式，求sinαcosα，然后對sinα-cosα平方代入sinαcosα的值，利用角的范圍即可求出sinα-cosα的值；
（Ⅱ）利用切化弦，同分把

sin3α

1+tanα

-

sinα•cos3α

sinα+cosα

化簡為（Ⅰ）所求出的值，代入求解即可．

解答：解：（Ⅰ） 由已知 sinα+cosα=

7

5

…①，
①式平方得：1+2sinαcosα=

49

25

…（2分）
∴sinαcosα=

12

25

…②…（4分）
（sinα-cosα）²=sin²α-2sinα•cosα+cos²α
將②代入得：
（sinα-cosα）²=1-2sinα•cosα=

1

25

又α∈(0，

π

4

)
∴sinα＜cosα
∴sinα-cosα=-

1

5

…（6分）
（Ⅱ）
原式=

sin3α

1+ sinα cosα

-

sinα•cos3α

sinα+cosα

=

sin3αcosα

sinα+cosα

-

sinα•cos3α

sinα+cosα

=

sin3αcosα-sinα•cos3α

sinα+cosα

=

sinαcosα(sin2α-cos2α)

sinα+cosα

=sinαcosα(sinα-cosα)=

12

25

•(-

1

5

)=-

12

125

…（12分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數的基本公式的應用，解題的關鍵是角的范圍與三角函數的值的大小的比較，切化弦的應用．