Question

如圖，圓柱的高為2，底面半徑為3，AE、DF是圓柱的兩條母線，B、C是下底面圓周上的兩點,已知四邊形ABCD是正方形.
（1）求證：；
（2）求正方形ABCD的邊長；
（3）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1） AE是圓柱的母線底面BEFC, 又面BEFC   
又ABCD是正方形 又面ABE 
又面ABE         …… 3分
（2）四邊形為矩形，且ABCD是正方形 EFBC          
       四邊形EFBC為矩形 
BF為圓柱下底面的直徑          …… 4分      
設正方形ABCD的邊長為，則AD=EF=AB=
在直角中AE=2，AB=，且BE²+AE= AB，得BE=²-4        
在直角中BF=6，EF=，且BE+EF= BF，的BE²=36-²        …… 6分
解得=，即正方形ABCD的邊長為                       …… 7分
（3）如圖以F為原點建立空間直角坐標系,則A(，0，2),B(，4，0),

E(，0，0),(，0， 2),(，4，0), (，0，0) 
設面AEF的法向量為(，，)，則
令，則即(，，-)              …… 11分
設直線與平面所成角的大小為，則
  …… 12分
所以直線與平面所成角的正弦值為.

(1)證明線線垂直，可以通過證明線面垂直來解決.本題只要證即可.（2）在中求AB的長，在中求BC的長，然后根據AB=BC即可求出BE的長度.進而確定正方形ABCD的邊長.
（3）可以借助向量建系來解決，也可以利用三垂線定理作出直線FE與平面ABF所成的角.然后再求解.