Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E為側棱PD的中點，AC與BD的交點為O．求證：
（1）直線OE∥平面PBC；
（2）平面ACE⊥平面PBD．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線性質可得OE∥PB，再根據直線和平面平行的判定定理證得OE∥平面PBC．
（2）證明PD⊥AC，BD⊥AC，再根據直線和平面垂直的判定定理證得AC⊥平面PBD，再根據平面和平面垂直的判定定理證得平面ACE⊥平面PBD．

解答：證明：（1）在正方形ABCD中，AC與BD的交點O為BD的中點，又因為E為PD的中點，故OE是三角形DPB的中位線，所以OE∥PB．
因為OE?平面PBC，PB?平面PBC，所以OE∥平面PBC．…（7分）
（2）因為PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC．
在正方形ABCD中，AC⊥BD．又因為BD?平面PBD，PD?平面PBD，且BD∩PD=D，所以AC⊥平面PBD．
又因為AC?平面ACE，所以，平面ACE⊥平面PBD．   …（14分）

點評：本題直線和平面平行的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的應用，屬于中檔題．