Question

已知函數f（x）=（a²-a+1）x^a+1為冪函數，且為奇函數；
（1）求a的值；
（2）求函數g(x)=f(x)+

1-2f(x)

在x∈[0，

1

2

]的值域．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）=（a²-a+1）x^a+1為冪函數，可得a²-a+1=1，解得a=0或1．再利用函數是奇函數，進一步確定a的值．
（2）求得函數g（x）=x+

1-2x

，x∈[0，

1

2

]，利用換元法將函數轉化為一元二次函數．再利用二次函數的性質求得函數的值域．

解答：解：（1）函數f（x）=（a²-a+1）x^a+1為冪函數，可得a²-a+1=1，解得a=0或1．
當a=0時，f（x）=x，為奇函數．
當a=1時，f（x）=x²，為偶函數，
∵f（x）為奇函數，∴a=0．
綜上，a=0．
（2）∵函數g(x)=f(x)+

1-2f(x)

=x+

1-2x

，x∈[0，

1

2

]，
令 t=

1-2x

≥0，可得0≤t≤1，則x=

1-t2

2

，且 g（x）=

1-t2

2

+t=1-

1

2

（t-1）²，
故當t=0時，函數取得最小值為

1

2

，
當t=1時，函數取得最大值為1，
故函數的值域為[0，1]．

點評：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的應用，求函數的值域，屬于中檔題．