Question

已知(＋3x²)ⁿ的展開式中，各項系數和比它的二項式系數和大992，求：
(1)展開式中二項式系數最大的項；
(2)展開式中系數最大的項．

Answer 1

（1）90x⁶，270（2）405

解：令x＝1，則展開式中各項系數和為(1＋3)ⁿ＝2²ⁿ.
又展開式中二項式系數和為2ⁿ，
∴2²ⁿ－2ⁿ＝992，n＝5.
(1)∵n＝5，展開式共6項，二項式系數最大的項為第3、4兩項，∴T₃＝()³(3x²)²＝90x⁶，T₄＝()²(3x²)³＝270.
(2)設展開式中第r＋1項系數最大，
則T_r＋1＝()^5－r(3x²)^r＝3^r，
∴?≤r≤，∴r＝4，
即展開式中第5項系數最大，T₅＝()(3x²)⁴＝405.