Question

如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥BD，且AB=BC=CA=BD=2AE=2
（Ⅰ）求證：平面ECD⊥平面BCD
（Ⅱ）求二面角D-EC-B的大小；
（Ⅲ）求三棱錐A-ECD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證平面ECD⊥平面BCD，根據面面垂直的判定定理可知在平面ECD內一直線與面CBD垂直，分別取CD、CB的中點F、G，連接EF、FG、AG，易證EF⊥面CBD，又EF?平面ECD，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）連接BF，過F作FM⊥EC，垂足為M，連接MB，根據二面角平面角的定義可知∠BMF為二面角D-EC-B的平面角，在△ECF中，求出MF，在三角形BMF中求出此角即可；
（Ⅲ）先用等體積法將三棱錐A-ECD的體積轉化成三棱錐C-EAD的體積，然后利用三棱錐的體積公式求出所求．

解答：解：（Ⅰ）證明：分別取CD、CB的中點F、G，連接EF、FG、AG．
由題知四邊形AEFG為矩形，易證AG⊥面CBD，AG∥EF，
∴EF⊥面CBD，
又EF?平面ECD，∴平面ECD⊥平面BCD
解：（Ⅱ）連接BF，則BF⊥CD，由（Ⅰ）知，BF⊥面ECD，過F作FM⊥EC，垂足為M，連接MB，
則∠BMF為二面角D-EC-B的平面角．
由題意知，EC=ED=

5

，CD=2

2

，
∴在△ECF中，MF=

EF•FC

CE

=

30

5

，又BF=

2

，
∴tan∠BMF=

BF

MF

=

15

3

，
∴二面角D-EC-B的大小為arctan

15

3

（Ⅲ）VA-ECD =VC-AED=

1

3

S△ADE ×

3

=

3

3

．

點評：本題主要考查了面面垂直的判定，以及二面角的度量和體積的計算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現，值得重視．