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已知函數f(x)=

1+x2

．
（1）求f（2）與f(

)，f（3）與f(

)；
（2）由（1）中求得結果，你能發現f（x）與f(

)有什么關系？并證明你的結論；
（3）求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f(

)+f(

)+…+f(

2013

)的值．

分析：（1）由f（x）=

1+x2

即可求得f（2），f（

），f（3），f（

）；
（2）易證f（x）+f（

）=1，從而可求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（

）+f（

）+…+f（

2013

）的值．

解答：解：（1）f（2）=

，f（

）=

…1分
f（3）=

，f（

）=

…2分
（2）f（x）+f（

）=1…5分
證：f（x）+f（

）=

1+x2

(

1+(

1+x2

=1…8分
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（

）+f（

）+…+f（

2013

）
=f（1）+[f（2）+f（

）]+[f（3）+f（

）]+…+[f（2013）+f（

2013

）]
=

+2012
=

4025

…12分

點評：本題考查函數的值，考查數列的求和，求得f（x）+f（

）=1是關鍵，考查分析、轉化與運算能力，屬于中檔題．

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數a，使g（x）在區間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(

-1)2+(

-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2^m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k²，b=（k+c）²時，記f（x）=f₁（x）；當a=（k+c）²，b=（k+2c）²時，記f（x）=f₂（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞

4c2

k(k+c)

．

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科目：高中數學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數學理科試題 題型：022

已知函數f(x)的圖像在[a，b]上連續不斷，f₁(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f₂(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數k，使得f₂(x)－f₁(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數”．已知函數f(x)＝x²，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數”，則k的值是_________．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(

-1)2+(

4c2

k(k+c)

．

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數f（x）、g（x），下列說法正確的是（）
A．f（x）是奇函數，g（x）是奇函數，則f（x）+g（x）是奇函數
B．f（x）是偶函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）是偶函數
C．f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）一定是奇函數或偶函數
D．f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）可以是奇函數或偶函數

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