Question

如圖，多面體AEDBFC的直觀圖及三視圖如圖所示，M，N分別為AF，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求證：CE⊥AF；
（3）求多面體A-CDEF的體積．

Answer 1

分析：（1）由題意，可得直三棱柱AED-BFC中，底面△DAE是等腰直角三角形，DA=AE=2且DA⊥平面ABEF，側(cè)面ABFE、ABCD都是邊長(zhǎng)為2的正方形．連接EB，可得MN是△BEC的中位線，可得MN∥EC，利用線面平行判定定理可證出MN∥平面CDEF；
（2）由正方形的性質(zhì)證出EB⊥AF，利用線面垂直的定義與性質(zhì)證出BC⊥AF，從而得到AF⊥平面BCE，結(jié)合CE?平面BCE可得CE⊥AF；
（3）等腰Rt△ADE中作出斜邊DE上高AH，可得AH的長(zhǎng)．利用面面垂直的性質(zhì)定理證出AH⊥平面CDEF，得AH是A-CDEF的高，根據(jù)四棱錐的體積公式加以計(jì)算，即可得出多面體A-CDEF的體積．

解答：解：由多面體AEDBFC的直觀圖及三視圖，可得
三棱柱AED-BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DA=AE=2，
且DA⊥平面ABEF，側(cè)面ABFE，ABCD都是邊長(zhǎng)為2的正方形．
（1）連接EB，則點(diǎn)M為BE、AF的交點(diǎn)
∴M是EB的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，∴△EBC中，MN∥EC，
∵EC?平面CDEF，MN?平面CDEF，
∴MN∥平面CDEF…（4分）
（2）∵DA⊥平面ABEF，DA∥BC，∴BC⊥平面ABEF，
∵AF?平面ABEF，∴BC⊥AF，
∵四邊形ABFE是正方形，∴EB⊥AF，
∵BE、BC是平面BCE內(nèi)的相交直線，
∴AF⊥平面BCE，結(jié)合CE?平面BCE，得CE⊥AF．    …（8分）
（3）∵DA⊥平面ABEF，EF?平面ABEF，∴EF⊥AD，
又∵EF⊥AE，AD∩AE=A，∴EF⊥平面ADE，
取DE的中點(diǎn)H，連結(jié)AH，Rt△ADE中，
由DA=AE=2得AH⊥DE且AH=

2

，
∵側(cè)面CDEF⊥平面DAE，側(cè)面CDEF∩平面DAE=DE
∴AH⊥平面CDEF
因此，多面體A-CDEF的體積為
V=

1

3

SCDEF•AH=

1

3

DE•EF•AH=

8

3

． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出三棱柱的三視圖，求證三棱柱中的線面平行、線線垂直并求四棱錐的體積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行判定定理和錐體體積求法等知識(shí)，屬于中檔題．