Question

（本題滿分14分）
已知函數()，.
（Ⅰ）當時，解關于的不等式：；
（Ⅱ）當時，記，過點是否存在函數圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若是使恒成立的最小值，對任意，
試比較與的大小(常數).

Answer 1

(I). (Ⅱ)這樣的切線存在，且只有一條。
(Ⅲ)以，
=.

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用，以及不等式的求解，以及最值的研究。
（1）因為當時，不等式等價于，進而得到解集
（2）假設存在這樣的切線，設其中一個切點，
∴切線方程：將點T代入得到結論。
（3）對恒成立，所以，構造函數運用導數求解最值得到證明。
(I)當時，不等式等價于，解集為.      3分
(Ⅱ)假設存在這樣的切線，設其中一個切點，
∴切線方程：，將點坐標代入得：
，即，       ①
法1：設，則．………………6分
，在區間，上是增函數，在區間上是減函數，
故．
又，注意到在其定義域上的單調性知僅在內有且僅有一根方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條． 8分.
法2：令()，考查，則，
從而在增，減，增. 故，
，而，故在上有唯一解.
從而有唯一解，即切線唯一.
法3：，；
當；
所以在單調遞增。 又因為，所以方程
有必有一解，所以這樣的切線存在，且只有一條。
(Ⅲ)對恒成立，所以，
令，可得在區間上單調遞減，
故，.                      10分
得，. 令，，
注意到，即，
所以，
=.              14分