Question

已知奇函數f（x）的定義域為R，且f（x）是以2為周期的周期函數，數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，則f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₀₈）的值為（　　）

A．0

B．2008

C．-2008

D．1004

Answer 1

分析：分析知數列為以1為首項，1為公差的整數列，即給出了函數的定義域是非零的自然數，這是一個離散函數，且以2為周期，又是奇函數，根據這些性質建立方程求出函數的前二個值即可．

解答：解：∵奇函數f（x）的定義域為R，
∴f（0）=0，f（1）+f（-1）=0，
又f（x）是以2為周期的周期函數，
∴f（2）=f（0）=0，f（1）=f（-1），
∴f（1）=0，
則f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₀₈）的值為0．
應選A．

點評：此題考查了考查函數的性質奇偶性與周期性，等差數列的特征，知識覆蓋面廣，技能性較強．熟練掌握等差數列的性質是解本題的關鍵．