Question

已知f（x）=ax-lnx＞0對一切x＞0恒成立，則實數a的取值范是

（

1

e

，+∞）

．

Answer 1

分析：f′（x）=a-

1

x

，（x＞0），由f′（x）=a-

1

x

=0，得a=

1

x

＞0．從而導出f（x）=ax-lnx在a=

1

x

，即x=

1

a

時，取最小值：f(x)min=f(

1

a

) =1-lna＞0，所以0＜lna＜1，由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：∵f′（x）=a-

1

x

，（x＞0）
∴由f′（x）=a-

1

x

=0，得a=

1

x

＞0
∴由f′（x）=a-

1

x

＞0，得a＞

1

x

，
x＞

1

a

時f（x）=ax-lnx是增函數，增區間是（

1

a

，+∞）．
∴由f′（x）=a-

1

x

＜0，得a＜

1

x

，
∴x＜

1

a

時f（x）=ax-lnx是減函數，減區間是（0，

1

a

）；
∴f（x）=ax-lnx在x=

1

a

時，取最小值：
f(x)min=f(

1

a

) =1-ln(

1

a

)＞0，
∴0＜ln（

1

a

）＜1，
∴e＞

1

a

．
∴實數a的取值范圍是（

1

e

，+∞）．
故答案為：（

1

e

，+∞）．

點評：本題考查實數a的取值范圍，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的性質的靈活運用．