Question

（2009•黃岡模擬）定義在R上的偶函數y=f（x）滿足：
①對x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）
②f（-5）=-1；
③當x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0則
（1）f（2009）=

-1

；
（2）若方程f（x）=0在區間[a，6-a]上恰有3個不同實根，實數a的取值范圍是

（-9，-3]

．

Answer 1

分析：（1）根據恒等式和偶函數的定義，以-x代x，求出函數的周期是12，又因2009=167×12+5，故f（2009）就是f（5）的值．
（2）根據當x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，可知函數在[0，3]上單調遞增，又f（x）為偶函數，故在[-3，0]上為減函數．又f（3）=0，故可求解．

解答：解：由題意，（1）因為y=f（x）是R上的偶函數，所以f（x）=f（-x），因為f（x+6）=f（x）+f（3），
所以f（-x+6）=f（-x）+f（3）=f（x）+3=f（x+6），所以f（x）關于x=6對稱，
因為f（6-x）=f（6+x），所以f（-x）=f（x+12）=f（x），所以f（x）是以12為周期的函數，
∴f（2009）=f（5）=f（-5）=-1；
 （2）根據當x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，可知函數在[0，3]上單調遞增
又f（x）為偶函數，故在[-3，0]上為減函數．
令x=-3，則由f（x+6）=f（x）+f（3）得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0
因為f（x+6）=f（x）+f（3），所以f（3）=f（-3）+f（3）=0，f（x）關于x=6對稱，所以f（9）=0，因為y=f（x）是R上的偶函數，f（-9）=0，f（-3）=0，因 為f（x）在[0，3]上是增函數，所以[0，3]上只有一解為3，對稱性[-3，0]只有一解為-3，因為f（x+6）=f（x）+f（3），且f（x）在[0，3]上是增函數，所以f（x）在[6，9]上是增函數，所以[6，9]上只有一解為9，因為f（x）關于x=6對稱，所以f（x）在[3，6]上只有一解為3，由對稱性知[-9，-6]，[-6，-3]各只有一解-9，-3，
要使方程f（x）=0在區間[a，6-a]上恰有3個不同實根，則a＞-9，6-a≥9
∴實數a的取值范圍是（-9，-3]
故答案為-1，（-9，-3]

點評：本題是一道抽象函數問題，題目的設計“小而巧”，解題的關鍵是巧妙的賦值，利用其奇偶性和所給的關系式得到函數的周期性，再利用周期性求函數值．靈活的“賦值法”是解決抽象函數問題的基本方法．