Question

設(shè)正整數(shù)a、b、c（a≤b≤c）和實(shí)數(shù)x、y、z、ω滿足：a^x=b^y=c^z=30^ω，

1

x

+

1

y

+

1

z

=

1

ω

，求a、b、c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),指數(shù)式與對數(shù)式的互化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先利用對數(shù)解出

1

x

，

1

y

，

1

z

，

1

ω

，然后代入

1

x

+

1

y

+

1

z

=

1

ω

，求得abc=30，最后根據(jù)abc的大小關(guān)系求出只能是a=2，b=3，c=5．

解答： 解：設(shè)a^x=b^y=c^z=30^ω=t（t＞0），
因?yàn)閍、b、c為正整數(shù)，所以兩邊取常用對數(shù)得xlga=ylgb=zlgc=wlg30=lgt，
則

1

x

=

lga

lgt

，

1

y

=

lgb

lgt

，

1

z

=

lgc

lgt

，

1

w

=

lg30

lgt

，
又∵

1

x

+

1

y

+

1

z

=

1

ω

，
∴

lga

lgt

+

lgb

lgt

+

lgc

lgt

=

lg30

lgt

，
∴l(xiāng)ga+lgb+lgc=lg30，
∴l(xiāng)g（abc）=lg30，
∴abc=30，
又∵a≤b≤c，
∴a=2，b=3，c=5．

點(diǎn)評：指數(shù)與對數(shù)的互化以及其運(yùn)算性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵，要熟練運(yùn)用．