Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）上一動點P，拋物線內一點A（3，2），F為焦點且|PA|+|PF|的最小值為

7

2

．
（1）求拋物線的方程以及使得|PA|+|PF|取最小值時的P點坐標；
（2）過（1）中的P點作兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于C、D兩點，直線CD是否過一定點？若是，求出該定點的坐標，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知，（|PA|+|PF|）_min=3+

p

2

=

7

2

，由此能求出拋物線方程和P點坐標．
（2）設C(

y12

2

，y1)，D(

y22

2

，y2)，則直線CD的方程為y=

2

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，由PC⊥PD，得y₁y₂=-8-2（y₁+y₂），代入直線CD，得y+2=

2

y1+y2

(x-4)，由此知直線CD過定點（4，-2）．

解答：解：（1）由已知，（|PA|+|PF|）_min=3+

p

2

=

7

2

，
∴p=1，
∴拋物線方程為：y²=2x，
此時P點坐標為（2，2）．
（2）設C(

y12

2

，y1)，D(

y22

2

，y2)，
則直線CD的方程為：y-y2=

2

y1+y2

(x-

y22

2

)，
即：y=

2

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，
∵PC⊥PD，∴

4

(y2+2)(y1+2)

=-1，
∴y₁y₂=-8-2（y₁+y₂），
代入直線CD，得y=

2

y1+y2

x-

8

y1+y2

-2，
即：y+2=

2

y1+y2

(x-4)，
∴直線CD過定點（4，-2）．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．