Question

[理]如圖，已知動點A，B分別在圖中拋物線y²=4x及橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的實線上運動，若AB∥x軸，點N的坐標為（1，0），則△ABN的周長l的取值范圍是______．
[文]點P是曲線y=x²-lnx上任意一點，則P到直線y=x-2的距離的最小值是______．

Answer 1

[理]依題意可知拋物線準線為x=-1
橢圓右準線為x=4
設A（x₁，y） B（x₂，y）
過A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4
由圓錐曲線第二定義
|NA|=|AH|=x₁+1
|NB|=|BH|•

1

2

=

4-x2

2

L=x₁+1+x₂-x₁+

4-x2

2

=

x2+6

2

聯立拋物線和橢圓方程求得x=

2

3

或-6（舍負）
∴

2

3

≤x₂≤2
∴

10

3

≤

x2+6

2

≤4
即L的取值范圍是（

10

3

，4）
[文]點P是曲線y=x²-lnx上任意一點，
當過點P的切線和直線y=x-2平行時，
點P到直線y=x-2的距離最小．
直線y=x-2的斜率等于1，
令y=x²-lnx的導數 y′=2x-

1

x

=1，x=1，或 x=-

1

2

（舍去），
故曲線y=x²-lnx上和直線y=x-2平行的切線經過的切點坐標（1，1），
點（1，1）到直線y=x-2的距離等于

2

，
故點P到直線y=x-2的最小距離為

2

，
故答案為：（

10

3

，4），

2