Question

如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求證：AF⊥平面CBF．
（2）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF．
（3）求四棱錐F-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AF⊥平面CBF，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AF與平面CBF內兩相交直線垂直，根據面面垂直的性質可知CB⊥平面ABEF，而AF?平面ABEF，則AF⊥CB，而AF⊥BF，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）欲證OM∥平面DAF，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證OM與平面DAF內一直線平行即可，設DF的中點為N，則MNAO為平行四邊形，則OM∥AN，又AN?平面DAF，OM不屬于平面DAF，滿足定理所需條件；
（Ⅲ）過點F作FG⊥AB于G，根據面面垂直的性質可知FG⊥平面ABCD，FG即正△OEF的高，然后根據三棱錐的體積公式進行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB
∴CB⊥平面ABEF∵AF?平面ABEF
∴AF⊥CB
又AB為圓O的直徑∴AF⊥BF
∴AF⊥平面CBF
（Ⅱ）設DF的中點為N，則MN

∥ .

.

1

2

CD又AO

∥ .

.

1

2

CD，
∴MN

∥ .

.

AO∴MNAO為平行四邊形
∴OM∥AN，
又AN?平面DAF，OM不屬于平面DAF
∴OM∥平面DAF
（Ⅲ）過點F作FG⊥AB于G∵平面ABCD⊥平面ABEF，
∴FG⊥平面ABCD，FG即正△OEF的高
∴FG=

3

2

∴S_ABCD=2
∴VF-ABCD=

1

3

SABCD•FG=

2

3

FG=

3

3

點評：本題主要考查直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定和三棱錐的體積的計算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現，值得重視．