Question

在等比數列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），且a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b_n=a_n+1+log₂a_n（n=1，2，3…），求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）求數列{a_n}的通項公式，設出公比為q，由a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中項，這兩個方程聯立即可求出首項與公比，通項易求．
（II）若數列{b_n}滿足b_n=a_n+1+log₂a_n（n=1，2，3…），由（I）知求數列{b_n}的前n項和S_n要用分組求和的技巧．

解答：解：（I）設等比數列{a_n}的公比為q．
由a₁a₃=4可得a₂²=4，（1分）
因為a_n＞0，所以a₂=2（2分）
依題意有a₂+a₄=2（a₃+1），得2a₃=a₄=a₃q（3分）
因為a₃＞0，所以，q=2..（4分）
所以數列{a_n}通項為a_n=2^n-1（6分）
（II）b_n=a_n+1+log₂a_n=2ⁿ+n-1（18分）
可得Sn=(2+22+23++2n)+[1+2+3++(n-1)]=

2(1-2n)

1-2

+

(n-1)n

2

（12分）
=2n+1-2+

n(n-1)

2

（13分）

點評：本題考點是等差數列與等比數列的綜合，考查等比數列的通項公式、等差數列的性質以及分組求和的技巧，以及根據題設條件選擇方法的能力．