Question

14、有如下四個命題：
①平面α和平面β垂直的充要條件是平面α內至少有一條直線與平面β垂直；
②平面α和平面β平行的一個必要不充分條件是α內有無數條直線與平面β平行；
③直線a與平面α平行的一個充分不必要條件是平面α內有一條直線與直線a平行；
④兩條直線平行是這兩條直線在一個平面內的射影互相平行的既不充分也不必要條件．
其中正確的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：①平面α和平面β垂直的充要條件是平面α內至少有一條直線與平面β垂直，此命題可由線面垂直的判定定理作出判斷；
②平面α和平面β平行的一個必要不充分條件是α內有無數條直線與平面β平行，此命題可由面面平行的定義作出判斷；
③直線a與平面α平行的一個充分不必要條件是平面α內有一條直線與直線a平行，可由線面平行的判定定理作出判斷；
④兩條直線平行是這兩條直線在一個平面內的射影互相平行的既不充分也不必要條件，可由直線在面中的各種投影關系作出判斷．

解答：解：①平面α和平面β垂直的充要條件是平面α內至少有一條直線與平面β垂直，是一個正確命題，由定理過一個平面的垂線的平面與這個平面垂直；
②平面α和平面β平行的一個必要不充分條件是α內有無數條直線與平面β平行，正確命題，兩平面平行，可得出一個平面中有無數條直線與另一個平面平行，反之，一個平面中有無數條直線與另一個平面平行，推不出兩平面平行；
③直線a與平面α平行的一個充分不必要條件是平面α內有一條直線與直線a平行，錯誤命題，此是一個充要條件；
④兩條直線平行是這兩條直線在一個平面內的射影互相平行的既不充分也不必要條件，正確命題，兩條直線平行時，在同一個平面內的投影可以是兩個點，不能得射影平行，如果兩個直線在平面內的投影平行，兩直線的位置關系可能是異面．
故答案為：①②④

點評：本題考查空間中直線與平面的位置關系，主要考查了對幾個定理的正確理解，是基本概念型題．