Question

函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

），在同一個周期內，當x=

π

4

時y取最大值1，當x=

7π

12

時，y取最小值-1．
（1）求函數的解析式f（x）；
（2）若函數f（x）滿足方程f（x）=

1

2

；求在[0，2π]內的所有實數根之和．

Answer 1

分析：（1）根據題意，算出f（x）的周期T=2（

7π

12

-

π

4

），結合周期公式解得ω=3，再結合當x=

π

4

時y取最大值1解出φ=-

π

4

，即可得到函數的解析式；
（2）由（1）的結論，得函數在[0，2π]內恰有3個周期，根據正弦函數圖象的對稱性，得到在[0，2π]內有6個根且分別關于直線x=

π

4

、x=

11π

12

和x=

19π

12

對稱，由此加以計算即可得到所有實數根之和．

解答：解：（1）由題意，得
周期T=

2π

ω

=2（

7π

12

-

π

4

），解得ω=3
又∵當x=

π

4

時y取最大值1
∴sin（

3π

4

+φ）=1，結合|φ|＜

π

2

可得φ=-

π

4

因此函數的解析式為f（x）=sin（3x-

π

4

）；
（2）∵f（x）=sin（3x-

π

4

）的周期為

2π

3

∴函數在[0，2π]內恰有3個周期，
并且方程sin(3x-

π

4

)=

1

2

在[0，2π]內有6個實根，
且x₁+x₂=

π

2

，
同理可得x₃+x₄=

11π

6

且x₅+x₆=

19π

6

∴f（x）在[0，2π]內的所有實數根之和為：

π

2

+

11π

6

+

19π

6

=

11π

2

．

點評：本題給出三角函數圖象滿足的條件，求函數的表達式并求f（x）在[0，2π]內的所有實數根之和．著重考查了三角函數的周期公式、圖象的對稱性和最值點對應的自變量等知識，屬于中檔題．