Question

某電臺“挑戰主持人，’節目的挑戰者闖第一關需要回答三個問題，其中前兩個問題回答正確各得10分，回答不正確得0分，第三個題目，回答正確得20分，回答不正確得-10分，總得分不少于30分即可過關．如果一位挑戰者回答前兩題正確的概率都是

4

5

，回答第三題正確的概率為

3

5

，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．記這位挑戰者回答這三個問題的總得分為ξ．
（1）這位挑戰者過關的概率有多大？
（2）求ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（1）這位挑戰者有兩種情況能過關，包括兩種情況，①第三個答對，前兩個一對一錯，②三個題目均答對，這兩種情況是互斥的，根據獨立重復試驗和互斥事件的概率公式，寫出結果．
（2）這位挑戰者回答這三個問題的總得分為ξ，ξ的可能取值是-10，0，10，20，30，40，結合變量對應的事件，寫出變量對應的概率，其中有兩個概率是在前一問做出的，做出期望．

解答：解：（1）這位挑戰者有兩種情況能過關：
①第三個答對，前兩個一對一錯，得20+10+0=30分，
②三個題目均答對，得10+10+20=40分，
其概率分別為P（ξ=30）=

C

1 2

×

4

5

×

1

5

×

3

5

=

24

125

P（ξ=40）=

4

5

×

4

5

×

3

5

=

48

125

這位挑戰者過關的概率為
P（ξ≥30）=P（ξ=30）+P（ξ=40）=

24

125

+

48

125

=

72

125

（2）如果三個題目均答錯，得0+0+（-10）=-10分，
如果前兩個中一對一錯，第二個錯，得10+0+（-10）=0分；
前兩個錯，第三個對，得0+0+20=20分；
如果前兩個對，第三個錯，得10+10+（-10）=10分；
故ξ的可能取值為-10，0，10，20，30，40
P（ξ=-10）=

1

5

×

1

5

×

2

5

=

2

125

，
P（ξ=0）=

C

1 2

×

1

5

×

4

5

×

2

5

=

16

125

P（ξ=10）=

4

5

×

4

5

×

2

5

=

32

125

P（ξ=20）=

1

5

×

1

5

×

3

5

=

3

125

P（ξ=30）=

24

125

P（ξ=40）=

48

125

∴ξ的數學期望是：-10×

2

125

+10×

32

125

+20×

3

125

+30×

24

125

+40×

48

125

=

3000

125

=24

點評：本題考查獨立重復試驗，考查離散型隨機變量的期望，是一個綜合題目，這種題目可以作為解答題目出現在理科的高考卷中，是一個必得分題目．