Question

已知橢圓的長軸兩端點分別為，是橢圓上的動點，以為一邊在軸下方作矩形，使，交于點，交于點．

（Ⅰ）如圖（1），若，且為橢圓上頂點時，的面積為12，點到直線的距離為，求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖（2），若，試證明：成等比數列．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由的面積為12，點到直線的距離為，列出關于的方程求解；（Ⅱ）用坐標表示各點，然后求出的長，計算比較即可.

試題解析：（Ⅰ）如圖1，當時，過點，，

∵的面積為12，，即．①                2分

此時，直線方程為．

∴點到的距離． ②    4分

由①②解得．             6分

∴所求橢圓方程為．       7分

（Ⅱ）如圖2，當時，，設，

由三點共線，及，

（說明：也可通過求直線方程做）

得，

，即．   9分

由三點共線，及，

得，

，即．   11分

又，.             13分

而．   15分

，即有成等比數列．                       16分

考點：橢圓的標準方程、點到直線的距離、等比數列.