Question

（本小題滿分14分）

     如圖，已知正三棱柱的底面邊長是，是側棱的中點，直線與側面所成的角為．

 

  （1）求此正三棱柱的側棱長；

  （2）求二面角的正切值；

  （3）求點到平面的距離．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）3（3）

【解析】

（1）設正三棱柱的側棱長為. 取中點，連結.

∵△是正三角形，∴.                        ．．．．．．．．．．．2分

又底面側面,且交線為,

∴側面. 連結，

則直線與側面所成的角為

在中，，解得. …………………4分

（2）過作于，連結，∵側面，∴.

∴為二面角的平面角.在中，

．．．．．．．．．．6分

又，∴,又．．．．．．．．．．8分

∴在中，.

故二面角的正切值為3.                         ……………9分

（3） 由（2）可知，平面，∴平面平面，且交線為，

∴過作于，則平面.

在中， …………………12分

∵為中點，∴點到平面的距離為. …………………14分

（注：（2）、（3）也可用向量法求解，（3）還可以用等體積法）