Question

已知偶函數在區間上是增函數，且滿足，下列判斷中錯誤的是（     ）

A．

B．函數在上單調遞減　

C．函數的圖像關于直線 對稱

D．函數的周期是

 

Answer 1

【答案】

  A

【解析】

試題分析：對于A，令x=0代入題中等式，得f（1-0）+f（1+0）=0，∴f（1）=0，結合函數為偶函數得f（-1）=f（1）=0，再令x=2代入題中等式，，得f（1-2）+f（1+2）=0，得f（3）=-f（-1）=0，結合函數為偶函數得f（-3）=f（3）=0，最后令x=4，f（1-4）+f（1+4）=0，得f（5）=-f（-3）=0，故A項正確；對于B，因為偶函數y=f（x）圖象關于y軸對稱，在區間[-1，0]上是增函數，所以y=f（x）在區間[0，1]上是減函數，設F（x）=f（1+x），得F（-x）=f（1-x），因為f（1-x）+f（1+x）=0，得f（1+x）=-f（1-x），所以F（x）=f（1+x）是奇函數，圖象關于原點對稱．由此可得y=f（x）圖象關于點（1，0）對稱．∵區間[1，2]和區間[0，1]是關于點（1，0）對稱的區間，且在對稱的區間上函數的單調性一致，∴函數f（x）在[1，2]上單調遞減，故B項正確；對于C，由B項的證明可知，y=f（x）圖象關于點（1，0）對稱，若f（x）的圖象同時關于直線 x=1對稱，則f（x）=0恒成立，這樣與“在區間[-1，0]上f（x）是增函數”矛盾，故C不正確；對于D，因為f（x）=f（1-（1-x））=-f（1+（1+x））=-f（x+2），所以f（x+2）=-f（x+4），可得f（x+4）=f（x），函數f（x）的周期是T=4，D項正確，故選C

考點：本題考查了函數的性質

點評：給出抽象函數，要我們在給出的幾條性質中找出錯誤的一項，著重考查了抽象函數的性質和函數單調性、奇偶性等知識，屬于中檔題