Question

已知數列{a_n}是等差數列，且a₁=2，S₃=12．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求數列{a_nxⁿ}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設公差為d，則a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）=12且a₁=2，解方程即可得公差d，再由等差數列的通項公式即可得數列{a_n}的通項公式
（Ⅱ）數列{a_nxⁿ}是由一個等差數列與一個等比數列的積構成的，求和適用錯位相減法，當x=1時，即為等差數列求和，當x≠1時，將和式兩邊乘以公比x，再錯位相減，即可得數列{a_nxⁿ}的前n項和T_n

解答：解：（Ⅰ）設公差為d，則a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）=12且a₁=2，所以d=2，
∴a_n=2n
（Ⅱ）T_n=2x+4x²+…（2n-2）x^n-1+2nxⁿ…①
xT_n=2x²+4x³+…+（2n-2）xⁿ+2nxⁿ⁺¹…②
當x≠1時：①-②得 (1-x)Tn=2(x+x2+…xn)-2nxn+1=

2x(1-xn)

1-x

-2nxn+1
Tn=

2x(1-xn)

(1-x)2

-

2nxn+1

1-x

當x=1時，S_n=n（n+1）綜上
Tn=

n(n+1)；x=1 2x(1-xn) (1-x)2 - 2nxn+1 1-x ；x≠1

點評：本題考察了等差數列的通項公式和性質，考察了數列求和的方法--錯位相減法，解題時要學會辨別數列類型，確定求和方法，認真運算，避免出錯