Question

【題目】已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．
（1）若y=f（x）與y=g（x）的圖象在交點（2，k）處的切線互相垂直，求a，b的值；
（2）若x=2是函數F（x）的一個極值點，x0和1是F（x）的兩個零點，且x0∈（n，n+1）n∈N，求n．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，g′（x）=2x+b，

由題知 ，即 ，解得

（2）解：F（x）=f（x+1）﹣g（x）=alnx﹣x2﹣bx，F ．

由題知 ，即 ，解得a=6，b=﹣1，

∴F（x）=6lnx﹣x2+x，F = ，

∵x＞0，由F′（x）＞0，解得0＜x＜2；由F′（x）＜0，解得x＞2，

∴F（x）在（0，2）上單調遞增，在（2，+∞）單調遞減，

故F（x）至多有兩個零點，其中x1∈（0，2），x2∈（2，+∞），

又F（2）＞F（1）=0，F（3）=6（ln3﹣1）＞0，F（4）=6（ln4﹣2）＜0，

∴x0∈（3，4），故n=3

【解析】（1）根據導數的幾何意義建立切線斜率之間的關系建立方程，求a，b的值；（2）根據導數和函數極值之間的關系建立方程，即可求n；
【考點精析】通過靈活運用函數的極值與導數，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．