Question

高三第一學期期末四校聯考數學第I卷中共有8道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有一個是正確的；評分標準規定：“每題只選一項，答對得5分，不答或答錯得0分．”某考生每道題都給出一個答案，已確定有5道題的答案是正確的，而其余選擇題中，有1道題可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜，試求出該考生：
（1）得40分的概率；
（2）得多少分的可能性最大？
（3）所得分數ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（1）要得40分，必須全部8題做對，其余3題中，有一道做對的概率為

1

2

，有一道題目做對的概率為

1

3

，有一道做對的概率為

1

4

，根據相互獨立事件同時發生的概率得到結果．
（2）由題意知可能得到的分數是25，30，35，40，結合每一個分數對應的事件，根據相互獨立事件和互斥事件做出每一種分數的概率，比較出大小．
（3）根據第二問所做出的結果，列出隨機變量的分布列，算出期望值．

解答：解：（1）某考生要得40分，必須全部8題做對，其余3題中，有一道做對的概率為

1

2

，
有一道題目做對的概率為

1

3

，有一道做對的概率為

1

4

，
∴所得40分的概率為P=

1

2

•

1

3

•

1

4

=

1

24

（2）依題意，該考生得分的范圍為25，30，35，40
得25分做對了5題，其余3題都做錯了，
∴概率為P1=

1

2

•

2

3

•

3

4

=

1

4

得30分是做對5題，其余3題只做對1題，
∴概率為P2=

1

2

•

2

3

•

3

4

+

1

2

•

1

3

•

3

4

+

1

2

•

2

3

•

1

4

=

11

24

得35分是做對5題，其余3題做對2題，
∴概率為P3=

1

2

•

1

3

•

3

4

+

1

2

•

2

3

•

1

4

+

1

2

•

1

3

•

1

4

=

1

4

得40分是做對8題，
∴概率為P4=

1

24

∴得30分的可能性最大
（3）由（2）得ξ的分布列為：

ξ	25	30	35	40
P	1 4	11 24	1 4	1 24

∴Eξ=25•

1

4

+30•

11

24

+35•

1

4

+40•

1

24

=

730

24

=30

5

12

點評：本題考查相互獨立事件同時發生的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查互斥事件的概率公式，考查利用概率知識解決實際問題，本題是一個綜合題目