Question

在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為

x=- 5 - 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t為參數）若以O點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為ρ=4cos θ．
（1）求曲線C的直角坐標方程及直線l的普通方程；
（2）將曲線C上各點的橫坐標縮短為原來的

1

2

，再將所得曲線向左平移1個單位，得到曲線CΘ，求曲線CΘ上的點到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用直角坐標與極坐標間的關系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得C的直角坐標方程，將直線l的參數消去得出直線l的普通方程．
（2）曲線C₁的方程為4x²+y²=4，設曲線C₁上的任意點（cosθ，2sinθ），利用點到直線距離公式，建立關于θ的三角函數式求解．

解答：解：（1）由ρ=4cosθ，得出ρ²=4ρcosθ，化為直角坐標方程：x²+y²=4x
即曲線C的方程為（x-2）²+y²=4，直線l的方程是：x+y=0…（4分）
（2）將曲線C橫坐標縮短為原來的

1

2

，再向左平移1個單位，得到曲線C₁的方程為4x²+y²=4，設曲線C₁上的任意點（cosθ，2sinθ）
到直線l距離d=

|cosθ+2sinθ |

2

=

5 |sin(θ+α)|

2

．
當sin（θ+α）=0時
到直線l距離的最小值為0．

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，以及利用平面幾何知識解決最值問題．利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得．