Question

（2012•蚌埠模擬）已知函數f（x）=

2x

x+1

，數列{a_n}滿足a₁=2，且a_n=

1

2

f(an-1)(n∈N*，n≥2)．
（1）求證：數列{

1

an

}是等差數列；
（2）對一切正整數n，令S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 a_n=

an-1

an-1+1

，化簡可得

1

an

=1+

1

an-1

，從而得出結論．
（2）由（1）可得

1

an

=

1

2

+（n-1）×1=

2n-1

2

，得 a_n=

2

2n-1

，用裂項法求出S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1 的值．

解答：解：（1）證明：由題意可得 a_n=

an-1

an-1+1

，∴

1

an

=1+

1

an-1

，∴{

1

an

}是以1為公差的等差數列．
（2）由（1）可得

1

an

=

1

2

+（n-1）×1=

2n-1

2

，∴a_n=

2

2n-1

．
故S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1 =4×

1

1×3

+4×

1

3×5

+4×

1

5×7

+…+4×

1

(2n-1)(2n+1)

 
=4[1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

]=4×（1-

1

2n+1

）=

4n

2n+1

．

點評：本題主要考查等差關系的確定，用裂項法對數列進行求和，屬于中檔題．