Question

（2012•奉賢區一模）已知數列{a_n}的通項公式為a_n=|n-13|，那么滿足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102的正整數k=

2或5

．

Answer 1

分析：利用等差數列的求和公式，可得{a_n}的前n項和S_n關于n的分段表達式．已知等式可化為a_k+a_k+1+…+a_k+19=S_k+19-S_k-1=102，k是正整數，通過討論k-1與13的大小，分別得到關于k的方程，解之即得滿足條件的正整數k值．

解答：解：∵a_n=|n-13|，∴a_n=

13-n    n≤13 n-13    n＞13

，
∴當n≤13時，{a_n}的前n項和為S_n=

25n-n2

2

，
當n＞13時，{a_n}的前n項和為S_n=

1

2

(n2-25n+312)
滿足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102，即a_k+a_k+1+…+a_k+19=S_k+19-S_k-1=102，k是正整數
而S_k+19=

1

2

[(k+19)2-25(k+19)+312]=

1

2

（k²+13k+198）
①當k-1≤13時，S_k-1=-

1

2

k²+k-13，
所以S_k+19-S_k-1=

1

2

（k²+13k+198）-（-

1

2

k²+

27

2

k-13）=102，解之得k=2或k=5
②當k-1＞13時，S_k-1=

1

2

[(k-1)2-25(k-1)+312]=

1

2

（k²-27k+338）
所以S_k+19-S_k-1=

1

2

（k²+13k+198）-

1

2

（k²-27k+338）=102，解之得k不是整數，舍去
綜上所述，滿足條件的k=2或5
故答案為：2或5

點評：本題給出一個與等差數列有關的數列，叫我們找出滿足已知等式的最小正整數k，著重考查了等差數列的通項與求和公式，考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．