Question

有4個不同的球，4個不同的盒子，現在要把球全部放入盒內．
（1）共有多少種放法？（用數字作答）
（2）恰有一個盒不放球，有多少種放法？（用數字作答）
（3）恰有兩個盒不放球，有多少種方法？（用數字作答）

Answer 1

分析：（1）每個球都有4種方法，故根據分步計數原理可求
（2）由題意知需要先選兩個元素作為一組再排列，恰有一個盒子中有2個小球，從4個小球中選兩個作為一個元素，同另外兩個元素在三個位置全排列，根據分步計數原理得到結果．
（3）四個不同的球全部放入4個不同的盒子內，恰有兩個盒子不放球的不同放法的求法，分為兩步來求解，先把四個球分為兩組，再取兩個盒子，作全排列，由于四個球分兩組有兩種分法，一種是2，2，另一種是3，1，故此題分為兩類來求解，再求出它們的和，然后選出正確選項

解答：解：（1）每個球都有4種方法，故有4×4×4×4=256種 
（2）四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，恰有一個空盒，說明恰有一個盒子中有2個小球，
從4個小球中選兩個作為一個元素，同另外兩個元素在三個位置全排列，故共有C₄²A₄³=144種不同的放法．
 （3）四個球分為兩組有兩種分法，（2，2），（3，1）
若兩組每組有兩個球，不同的分法有

C 2 4

A 2 2

=3種，恰有兩個盒子不放球的不同放法是3×A₄²=36種
若兩組一組為3，一組為1個球，不同分法有C₄³=4種恰有兩個盒子不放球的不同放法是4×A₄²=48種
綜上恰有兩個盒子不放球的不同放法是36+48=84種

點評：本題考查察排列、組合的實際應用，解題的過程中注意這種有條件的排列要分兩步走，先選元素再排列．理解事件“四個不同的球全部放入4個不同的盒子內，恰有兩個盒子不放球”，宜先將四個球分為兩組，再放入，分步求不同的放法種數．