Question

是否存在實數a，使函數f（x）=x²-2ax+a的定義域為[-1，1]時，值域為[-2，2]？若存在，求a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：由于函數f（x）=x²-2ax+a的對稱軸為 x=a，分a＜-1、0＞a≥-1、1＞a≥0、a≥1 四種情況利用函數的單調性以及定義域、值域求出a的值．

解答：解：由于函數f（x）=x²-2ax+a的對稱軸為 x=a，
當a＜-1 時，函數f（x）=x²-2ax+a在定義域[-1，1]上是增函數，故有

1+2a+a=-2 1-2a+a=2

，
解得 a=-1 （舍去）．
當 0＞a≥-1 時，函數f（x）=x²-2ax+a在定義域[-1，1]上先減后增，故有

f(a)=-a2+a =-2 f(1)=1-2a+a=2

，
解得a=-1．
當 1＞a≥0 時，函數f（x）=x²-2ax+a在定義域[-1，1]上先減后增，故有

f(a)=-a2+a =-2 f(-1)=1+2a+a=2

，
解得a 無解．
當a≥1 時，函數f（x）=x²-2ax+a在定義域[-1，1]上是減函數，

f(-1) =1+3a =2 f(1)=1-a=-2

，解得 a 無解．
綜上可得，a=-1．

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，函數的最值及其幾何意義，其中熟練掌握二次函數的圖象和性質，以及二次函數各系數的作用是解答本題的關鍵，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．