Question

定義g（x）表示如下函數：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

 (m∈Z)，則g（x）=m．給出下列關于函數f（x）=|x-g（x）|的四個命題：
（1）函數y=f（x）的定義域是R，值域是[0，

1

2

]；
（2）函數y=f（x）是R上的奇函數；
（3）函數y=f（x）是周期函數，最小正周期是1；
（4）函數y=f（x）的圖象關于直線x=

k

2

(k∈Z)對稱．
其中正確命題的序號是

（1）（3）（4）

．（把你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析：由已知若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

 (m∈Z)，則g（x）=m，因為m為整數，故可取m為幾個特殊的整數，畫出函數的圖象進行研究即可得到正確結論．

解答：解：由題意x-g（x）=x-m，f（x）=|x-g（x）|=|x-m|，
m=0時，-

1

2

＜x≤

1

2

，f（x）=|x|，
m=1時，1-

1

2

＜x≤1+

1

2

，f（x）=|x-1|，
m=2時，2-

1

2

＜x≤2+

1

2

，f（x）=|x-2|，
由圖象可知：
（1）y=f（x）的定義域為R，值域為[0，

1

2

]，正確；
（2）函數y=f（x）是R上的偶函數，故不正確；
（3）y=f（x）是周期函數，最小正周期為1，正確；
（4）y=f（x）的圖象關于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱，正確；
故答案為：（1）（3）（4）

點評：本題主要考查了函數單調性的判斷與證明，以及周期性、對稱性、奇偶性等性質，也是一個新定義問題，可結合圖象進行研究，體現數形結合思想，屬于中檔題．