設函數f（x）是增函數，對于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）；
（2）證明f（x）奇函數；
（3）解不等式

f（x²）-f（x）＞

f（3x）．

分析：（1）利用已知條件通過x=y=0，直接求f（0）；
（2）通過函數的奇偶性的定義，直接證明f（x）是奇函數；
（3）利用已知條件轉化不等式．通過函數的單調性直接求解不等式

f（x²）-f（x）＞

f（3x）的解集即可．

解答：解：（1）由題設，令x=y=0，
恒等式可變為f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，
（2）令y=-x，則由f（x+y）=f（x）+f（y）得
f（0）=0=f（x）+f（-x），即得f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函數
（4）由

f（x²）-f（x）＞

f（3x），
f（x²）-f（3x）＞2f（x），
即f（x²）+f（-3x）＞2f（x），
又由已知得：f[2（x）]=2f（x）
∴f（x²-3x）＞f（2x），
由函數f（x）是增函數，不等式轉化為x²-3x＞2x．即x²-5x＞0，
∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函f（x）=ln x，g（x）=

ax²+bx（a≠0）．
（1）若a=-2時，函h（x）=f（x）-g（x），在其定義域是增函數，求b的取值范圍；
（2）在（1）的結論下，設函數φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函數φ（x）的最小值；
（3）當a=-2，b=4時，求證2x-f（x）≥g（x）-3．

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函f（x）=ln x，g（x）= $數學公式$ ax²+bx（a≠0）．
（1）若a=-2時，函h（x）=f（x）-g（x），在其定義域是增函數，求b的取值范圍；
（2）在（1）的結論下，設函數φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函數φ（x）的最小值；
（3）當a=-2，b=4時，求證2x-f（x）≥g（x）-3．

科目：高中數學 來源：2010-2011學年四川省宜賓市南溪一中高三（上）第一次月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函f（x）=ln x，g（x）=

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