如圖，在斜三棱柱
中，側(cè)面
，
，
，底面
是邊長為
的正三角形，其重心為
點，
是線段
上一點，且
．
（1）求證：
側(cè)面
；
（2）求平面
與底面所成銳二面角的正切值．
（1）證明：連接
并延長與
交于
點，則由題
意及相似關系可知點為的中點，所以
三點共線，
從而可得
，因此側(cè)面；
（2）
．
解析試題分析：（1）要證明直線側(cè)面，即證明
平行于側(cè)面的某條直線，而由題意及相似關系易知，即可證明之；
（2）這問的關鍵是找出平面與底面所成二面角的平面角，由側(cè)面
底面知，過
點作
的垂線與的延長線交于點
，則
平面，經(jīng)過點作
的垂線與的延長線交于點
，則
，于是
即為所求二面角的平面角，然后根據(jù)相似關系可求該二面角的平面角的正切值．
試題解析：（1）證明：連接并延長與交于點，則由題意及相似關系可知點為的中點，
所以三點共線，從而可得，因此側(cè)面．
（2）經(jīng)過點作的垂線與的延長線交于點，則平面，經(jīng)過點作的垂線與的延長線交于點，則，所以即為所求二面角的平面角且
，則
，并由相似關系得：
，故
，即為所求二面角的正切值．
考點：與二面角有關的立體幾何綜合題；直線與平面平行的判定．
心算口算巧算一課一練系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝
CD＝1，PD＝
.
（1）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）在線段PC上是否存在一點Q（除去端點），使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為
？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在三棱錐P—ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA=6，BC=8,DF=5.
求證：（1）直線PA∥平面DFE；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，已知四邊形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M, N分別是AB, PC的中點.
(1)求證：MN∥平面PAD；
(2)求證：MN⊥DC；
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
(1)求證：PC⊥BC；
(2)求點A到平面PBC的距離．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，已知在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且
＝
＝2.求證：直線EG，F(xiàn)H，AC相交于一點．
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中，
丄平面
，
丄
，
丄
，
，
，
.
丄
的正弦值；
外接球的體積.
中，底面
為平行四邊形，
，
，
，
是正三角形，平面
平面
．
；
的體積．
，則AB的中點M與C的距離為_ ▲ .