Question

已知f（x）是定義域為R的奇函數，f（-4）=-2，f（x）的導函數f′（x）的圖象如圖所示，若兩正數a，b滿足f（a+2b）＜2，則

a+4

b+4

的取值范圍是（　　）

• A．(

  1

  2

  ，

  3

  2

  )
• B．(

  1

  2

  ，

  2

  3

  )
• C．(

  2

  3

  ，2)
• D．(-2，-

  2

  3

  )

Answer 1

分析：由f（x）為奇函數及f（-4）=-2可求得f（4），根據導函數圖象可判斷f（x）的單調性，從而f（a+2b）＜2可化為a，b的不等式，畫出點（b，a）對應的區域，

a+4

b+4

可看作（b，a）與（-4，-4）連線的斜率，由圖象可求得斜率范圍．

解答：解：∵f（-4）=-2，且f（x）是定義域為R的奇函數，
∴f（4）=-f（-4）=2，
則f（a+2b）＜2，可化為f（a+2b）＜f（4），
由導函數f′（x）的圖象可知，f′（x）≥0，
∴f（x）在R上單調遞增，
則有a+2b＜4，
又a＞0，b＞0，
則點（b，a）對應的區域如圖所示：

a+4

b+4

可看作（b，a）與（-4，-4）連線的斜率，設為k，
由圖象可知

0-(-4)

2-(-4)

＜k＜

4-(-4)

0-(-4)

，即

2

3

＜k＜2，
∴

2

3

＜

a+4

b+4

＜2，
故選C．

點評：本題考查導數與函數單調性間的關系、斜率的計算公式，考查轉化思想．