Question

(13分)如圖,正方體中．
(Ⅰ)求與所成角的大小；
(Ⅱ)求二面角的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)異面直線與所成角為；(Ⅱ)二面角的正切值為。

(I)連接B₁C，則易證B­₁C//A₁D,所以就是異面與所成角,然后解三角形求此角即可.
(II)連接BD交AC于O點，則易證就是二面角的平面角，然后再直角三角形B₁BO中求此角即可.
(Ⅰ)在正方體中, --------------------1
∴A₁B₁CD為平行四邊形,∴,--------------------------- 2
所以∠ACB₁或其補角即異面直線與所成角………………3
設正方形邊長為
在中,AC=B₁A=B₁C=,………………………….5
∴∠ACB₁=
所以異面直線與所成角為……………………………..6
(Ⅱ)連結BD交AC于O,連結B₁O,…………………………………….7
∵O為AC中點, B₁A=B₁C,BA=BC
∴B₁O⊥AC,BO⊥AC………………………………….9
∴∠B₁OB為二面角的平面角.---------------------------10
在中, B₁B=,BO=--------------------12
∴∠B₁OB=
故二面角的正切值為---------------------13.