Question

已知sin（

π

4

+3α） sin（

π

4

-3α）=

1

4

，α∈（0，

π

4

），求（

1-cos2α

sin2α

-

3

）sin4α的值．

Answer 1

分析：利用

π

4

+3α，

π

4

-3α互余，化簡已知的方程，通過二倍角公式結合α的范圍，求出α的值，然后代入表達式，利用特殊角的三角函數值求解即可．

解答：解：sin(

π

4

+3α)sin(

π

4

-3α)=sin(

π

4

+3α)cos(

π

4

+3α)=

1

2

sin(6α+

π

2

)=

1

2

cos6α=

1

4

，
即cos6α=

1

2

，又6α∈（0，

3π

2

），∴6α=

π

3

，即α=

π

18

=10°．
∴（

1-cos2α

sin2α

-

3

）sin4α=

sinα- 3 cosα

cosα

•sin4α=

sin10o- 3 cos10o

cos10o

•sin40o=

-2(sin60ocos10o-cos60osin10o)

cos10o

•sin40o=

-2sin50o

cos10o

•sin40o=

-sin80o

cos10o

=-1．
所求值為：-1．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變形．包含了和差角、倍角的運算，已知三角函數值求角，誘導公式，輔助角公式，要求學生對三角函數的變形方向有綜合的理解．