Question

已知雙曲線的漸近線的方程為2x±3y=0,
（1）若雙曲線經過P（，2），求雙曲線方程；
（2）若雙曲線的焦距是2，求雙曲線方程；
（3）若雙曲線頂點間的距離是6，求雙曲線方程.

Answer 1

（1）（2）=1或（3）=1或

方法一 （1）由雙曲線的漸近線方程y=±x及點P（，2）的位置可判斷出其焦點在y軸上，（a＞0,b＞0）
故可設雙曲線方程為.
依題意可得
故所求雙曲線方程為.
(2)若焦點在x軸上，可設雙曲線方程為.
依題意
此時所求雙曲線方程為=1.
若焦點在y軸上，可設雙曲線方程為.
依題意
此時所求雙曲線方程為.
故所求雙曲線方程為=1或.
（3）若焦點在x軸上，則a=3,且=.
∴a=3,b=2,雙曲線方程為=1.
若焦點在y軸上，則a=3,且=.
∴a=3,b=,雙曲線方程為.
故所求雙曲線方程為=1或.
方法二 由雙曲線的漸近線方程=0,
可設雙曲線方程為(≠0).
(1)∵雙曲線經過點P（，2），
∴=,即=-,
故所求雙曲線方程為=1.
(2)若＞0，則a²=9,b²=4,c²=a²+b²=13.
由題設2c=2,則13=13,即=1.
此時，所求雙曲線方程為=1.
若＜0，則a²=-4,b²=-9,c²=a²+b²=-13.
由題設2c=2,得=-1.
此時，所求雙曲線方程為=-1.
故所求雙曲線方程為=1或=1.
（3）若＞0，則a²=9,由題設知2a=6.
∴=1，此時所求雙曲線方程為=1.
若＜0，則a²=-4,由題設知2a=6,知=-.
此時所求雙曲線方程為.
故所求雙曲線方程為=1或.