Question

將兩塊三角板按圖甲方式拼好（A、B、C、D四點共面），其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=2，現將三角板ACD沿AC折起，使點D在平面ABC上的射影O恰好在AB上（如圖乙）．
（1）求證：AD⊥平面BDC；
（2）求二面角D-AC-B的大小；
（3）求異面直線AC與BD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）在平面內找兩條相交直線，再分別證明這兩條直線與已知直線垂直，即可利用線面垂直的判定定理得到得到線面垂直．
（2）利用題中的垂直關系作出二面角的平面角，再證明此角是所求角，然后放入三角形中利用解三角形的有關知識求解答案即可．
（3）建立空間直角坐標系，分別求出平面的法向量與直線AC所在的向量，結合向量之間的基本運算求出兩個向量的夾角進而轉化為線面角．

解答：解：（1）證明：由已知DO⊥平面ABC，
∴平面ADB⊥平面ABC，
又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面ADB，
又∵AD?平面ADB，∴BC⊥AD，
又∵AD⊥DC，∴AD⊥平面BDC　　　　
（2）由（1）得AD⊥BD，
由已知AC=2，得AB=

2

，AD=1，
∴BD=1，∴O是AB的中點，DO=

2

2

過D作DE⊥AC于E，連接OE，則OE⊥AC．
∴∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，
因為DE=

3

2

，
∴sin∠DEO=

DO

DE

=

6

3

．
∴∠DEO=arcsin

6

3

．
即二面角D-AC-B的大小為arcsin

6

3

．
（3）取AC的中點G，連接OG，以O為原點，分別以GO、OB、OD所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則A(0，-

2

2

，0)，B(0，

2

2

，0)，C(-

2

2

2

，0)，D(0，0，

2

2

)．
∴

AC

=(-

2

，

2

，0)，

BD

=(0，-

2

2

，

2

2

)．
設AC與BD所成的角為α，
則cosα=

| AC • BD |

| AC || BD |

=

1

2

，∴α=60°．
即異面直線AC與BD所成角的大小為60°．
（由D在平面ABC上的射影一定要落在，平面圖形ABCD中，過D點與AC垂直的直線上，由平面幾何知識可得O為AB中點）

點評：夾角此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構題中，不但利用題中的線面關系夾角平行、垂直、空間角等問題，也可以建立適當的坐標系借助與向量解決以上問題．